AP統(tǒng)計(jì)5分必考點(diǎn)梳理，省時(shí)又高效！

概述

統(tǒng)計(jì)按照大綱共分為四部分，分別是描述統(tǒng)計(jì)、抽樣方法、概率論、統(tǒng)計(jì)推斷。

(1) Exploring Data:?Describing patterns anddepartures from patterns

(2) Sampling and Experimentation:?Planningand conducting a study

(3) Anticipating Patterns:?Exploring randomphenomena using probability and simulation

(4) Statistical Inference:?Estimatingpopulation parameters and testing hypotheses

描述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（data）分為定性數(shù)據(jù)（qualitative or categorical?data）與定量數(shù)據(jù)（quantitativedate）。

定性數(shù)據(jù)：按照類別進(jìn)行劃分，展示對(duì)象的屬性；

定量數(shù)據(jù)：展示對(duì)象的數(shù)值特征。

圖（graph）：分為bar chart, pie chart, dotplot, stemplot, histogram, boxplot

	Quality	Quantity
Bar chart	YES	NO
Pie chart	YES	NO
Stemplot	NO	YES
Dotplot	YES	YES
Histogram	NO	YES
Boxplot	NO	YES

 

通過圖形可以看出數(shù)據(jù)的分布特征（1）對(duì)稱（symmetric）

（2）偏態(tài)（skewed）

左偏（skewed to the left）

右偏（skewed to the right）

（3）集中趨勢(shì)

（4）異常值

histogram的畫法（1）以個(gè)數(shù)作為高度

（2）以百分比作為高度

（3）以百分比作為面積。

概率密度（probability density function, pdf）描繪以百分比作為面積的histogram的曲線。累積分布（cumulative distribution function, cdf）以小于等于該數(shù)的數(shù)據(jù)所占百分比作為該數(shù)的縱坐標(biāo)繪制出的曲線。數(shù)字特征（numerical value）（1）描述集中趨勢(shì)

（2）描述離散趨勢(shì)

（3）描述位置

（4）標(biāo)準(zhǔn)化變量（z-score）

 

Center	Mode	Mean	Median
Spread	Range	Interquartile range	Variance	Standard deviation
Position	Simple ranking	Percentile ranking
Z-score

眾數(shù)（mode）一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)。平均數(shù)（mean）數(shù)據(jù)求和后除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。數(shù)據(jù)的排序方式（從小到大）有兩種（1）簡(jiǎn)單排序（simple ranking）：

第一、第二、第三等等

 

（2）百分位排序（percentile ranking）：

某個(gè)數(shù)的百分位值等于小于該數(shù)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)占整體的百分比。

將一組數(shù)據(jù)排序后，可得到

a.最小值（minimum）、最大值（maximum）

b.極差（range）：最大值與最小值的差，max-min

c.中位數(shù)（median）：排序后處于中間位置的數(shù)

d.四分位數(shù)（quartile）：

位于25%、75%的數(shù)，記為Q1、Q3

（1）.四分位差（interquartile range, IQR）：兩個(gè)四分位數(shù)的差值，IQR=Q3-Q1

（2）.判斷某個(gè)數(shù)是否為異常值（outlier），可用Q1-1.5IQR和Q3+1.5IQR作為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行衡量，如果該數(shù)超出這個(gè)范圍則可認(rèn)定為異常值。

 

（3）箱線圖（boxplot）：

剔除異常值后取最小值、Q1、中位數(shù)、Q3、最大值這五個(gè)數(shù)，最小值最大值作為兩個(gè)端點(diǎn)，Q1、中位數(shù)、Q3作為三條線畫出的圖形。將異常值以散點(diǎn)的形式標(biāo)注在最小值左側(cè)和最大值右側(cè)。

 

方差（variance）與標(biāo)準(zhǔn)差（standard deviation）：衡量數(shù)據(jù)與平均值偏離程度平方和的平均值。

這里需要注意的是，如果計(jì)算的是總體的方差和標(biāo)準(zhǔn)差，用1/n來求平均；如果計(jì)算的是樣本的方差和標(biāo)準(zhǔn)差，用1/(n-1)來求平均。

 

標(biāo)準(zhǔn)化變量（z-score）：計(jì)算方式是將原始數(shù)據(jù)減去平均數(shù)之后再除以標(biāo)準(zhǔn)差，用它可以展示不同度量單位數(shù)據(jù)的偏離程度。

 

二維數(shù)據(jù)

二維定量數(shù)據(jù)

研究?jī)蓚€(gè)變量的關(guān)系

 

散點(diǎn)圖（scatterplot）以一個(gè)變量作為橫坐標(biāo)、另一個(gè)變量作為縱坐標(biāo)繪制出的圖形，以散點(diǎn)的形式表現(xiàn)在坐標(biāo)軸中。變量選用單位不同，會(huì)造成圖形有差異。相關(guān)系數(shù)（linear correlation coefficient）衡量?jī)蓚€(gè)量之間線性關(guān)系的指標(biāo)，介于-1和1之間，負(fù)數(shù)代表兩個(gè)變量之間是反向變化的，正數(shù)代表兩個(gè)變量之間是同向變化的，越靠近0代表線性關(guān)系越弱，越靠近-1和1代表線性關(guān)系越強(qiáng)。它只能衡量線性關(guān)系，不能衡量非線性關(guān)系；只反應(yīng)關(guān)系，不代表因果。回歸（regression）尋找代表變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。線性回歸假定變量之間存在一次函數(shù)的關(guān)系（形如y=kx+b）。此函數(shù)在坐標(biāo)系中圖像是一條直線，因此稱作線性回歸。殘差（residual）真實(shí)值與估計(jì)值之間的差。殘差圖（residual plot）以一個(gè)變量作為橫坐標(biāo)、該變量所對(duì)應(yīng)的殘差為縱坐標(biāo)繪制出的圖形。若兩變量之間存在線性關(guān)系，則殘差圖應(yīng)為無規(guī)則的散點(diǎn)。最小二乘法（least square）利用殘差平方和最小求出直線斜率與截距（k和b）的方法。線性化（linearity）將非線性關(guān)系轉(zhuǎn)換為線性關(guān)系的方法，常用有對(duì)數(shù)變換、指數(shù)變換等。

 

抽樣方法總體（population）：

研究對(duì)象的全體。

 

樣本（sample）：

總體中的一部分。

 

參數(shù)（parameter）：

描述總體特征的指標(biāo)，一般用希臘字母表示。

 

統(tǒng)計(jì)量（statistics）：

描述樣本特征的指標(biāo)，一般用拉丁字母表示。

 

普查（census）：

對(duì)總體中的每一個(gè)個(gè)體都進(jìn)行研究。

 

抽樣（sample）：

對(duì)總體中的部分個(gè)體進(jìn)行研究。

 

實(shí)驗(yàn)法（experiment）：

對(duì)目標(biāo)群體進(jìn)行干預(yù)而得到數(shù)據(jù)。

 

觀察法（observation）：

不對(duì)目標(biāo)群體進(jìn)行干預(yù)而得到數(shù)據(jù)。

 

實(shí)驗(yàn)組（treatment group）：

對(duì)該組中的個(gè)體進(jìn)行干預(yù)。

 

對(duì)照組（control group）：

不對(duì)該組中的個(gè)體進(jìn)行干預(yù)。

 

影響因子（factor）:
會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)對(duì)象產(chǎn)生影響

 

變量混淆（confounded）：

無法分離因子的影響

 

協(xié)同作用（common response）：

多個(gè)因子共同造成影響

 

安慰劑（the placebo effect）：

心理作用導(dǎo)致的變化

 

單盲試驗(yàn)（single blinding）：

實(shí)驗(yàn)者知曉每一個(gè)體是否受到預(yù)先設(shè)置的干預(yù)，而被實(shí)驗(yàn)者不知曉。

 

雙盲試驗(yàn)（double blinding）：

實(shí)驗(yàn)者與被實(shí)驗(yàn)者都不知曉每一個(gè)體是否受到預(yù)先設(shè)置的干預(yù)。

 

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（simple random sampling）：

隨機(jī)地從總體中選取個(gè)體，每個(gè)個(gè)體被選到的概率是相等的。

 

系統(tǒng)抽樣（systematic sampling）：

首先將總體中的個(gè)體編號(hào)、排序，而后按照固定步長(zhǎng)進(jìn)行抽樣。

 

分層抽樣（stratified sampling）：

首先將總體中的個(gè)體按照某一特征或標(biāo)準(zhǔn)劃分為不同的層（strata），而后從每層中進(jìn)行抽樣。特征是每個(gè)層中的個(gè)體具有相似性。

 

整群抽樣（cluster sampling）：

首先將不同特征的個(gè)體劃為分一個(gè)群（cluster），而后從每個(gè)群中進(jìn)行抽樣。特征是每個(gè)群具有多樣性。

 

概率頻數(shù)（frequency）：

某一結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)。

 

頻率（relative frequency）：

某一結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)占實(shí)驗(yàn)次數(shù)的百分比。

 

概率（probability）：

某一結(jié)果出現(xiàn)可能性的大小，介于0和1之間。不可能事件（impossible event）的概率是0，必然事件（certain event）的概率是1，但反之不正確，概率為0的事件不一定是不可能事件，也有可能發(fā)生，概率為1的事件也可能不發(fā)生。

 

大數(shù)定律（the law of large numbers）：

實(shí)驗(yàn)次數(shù)越大，頻率越穩(wěn)定，且取決于事件本身的概率。

 

基本公式：

 

條件概率（conditional probability）：

給定某一事件發(fā)生的條件下，另一事件發(fā)生的概率。

 

隨機(jī)變量（random variable）：

該變量的取值取決于實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。

 

離散型（discrete）：

隨機(jī)變量的取值是一個(gè)一個(gè)的。

 

連續(xù)型（continuous）：隨機(jī)變量的取值是連續(xù)不間斷的。

 

分布（distribution）：

實(shí)驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的規(guī)律。

 

均值（mean）與方差（variance）:

二項(xiàng)分布（binomial distribution）：

將具有兩個(gè)結(jié)果的實(shí)驗(yàn)重復(fù)多次，求其中某一結(jié)果出現(xiàn)次數(shù)的概率。

幾何分布（geometric distribution）：
將具有兩個(gè)結(jié)果的實(shí)驗(yàn)重復(fù)多次，求其中某一結(jié)果首次出現(xiàn)時(shí)實(shí)驗(yàn)次數(shù)的概率。

正態(tài)分布（normal distribution）：

代表常規(guī)現(xiàn)象出現(xiàn)次數(shù)多、極端現(xiàn)象出現(xiàn)次數(shù)少這樣一種規(guī)律。

 

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（standard normal distribution）：

均值為0、方差為1的正態(tài)分布。

 

抽樣分布（sampling distribution）：

多次抽樣后，樣本統(tǒng)計(jì)量的分布規(guī)律。

標(biāo)準(zhǔn)誤（standard error）：
統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差。

單總體樣本比例的抽樣分布

 

 

 

統(tǒng)計(jì)推斷

 

參數(shù)估計(jì)（estimation）：

利用統(tǒng)計(jì)量去預(yù)測(cè)參數(shù)。

 

區(qū)間估計(jì)（interval）：

給出參數(shù)的范圍。

 

置信水平（confidence level）：

對(duì)參數(shù)多次進(jìn)行估計(jì)得到多個(gè)區(qū)間，其中區(qū)間中包含真實(shí)參數(shù)的次數(shù)占估計(jì)次數(shù)的比例。

 

單總體比例區(qū)間估計(jì)：

雙總體比例差區(qū)間估計(jì)：

 

單總體均值區(qū)間估計(jì)：

此時(shí)需考慮總體方差是否已知，（1）若已知?jiǎng)t使用正態(tài)分布進(jìn)行估計(jì)，（2）若未知?jiǎng)t使用t分布進(jìn)行估計(jì)。

 

雙總體均值差區(qū)間估計(jì)：

此時(shí)需考慮總體方差是否已知

（1）若已知?jiǎng)t使用正態(tài)分布進(jìn)行估計(jì)

（2）若未知

a.總體方差不等（pooled=no）

b.總體方差相等（pooled=yes），則使用t分布進(jìn)行估計(jì)，但所用自由度與方差皆不相同。

假設(shè)檢驗(yàn)（hypothesis test）：

利用統(tǒng)計(jì)量對(duì)參數(shù)的真?zhèn)芜M(jìn)行檢驗(yàn)。

 

原假設(shè)（null hypothesis）：

待檢驗(yàn)參數(shù)。

 

備擇假設(shè)（alternative hypothesis）：

當(dāng)原假設(shè)被拒時(shí)所接受的假設(shè)。

根據(jù)備擇假設(shè)形式的不同，分為雙尾檢驗(yàn)（two tailed）和單尾檢驗(yàn)（one tailed）

p值（p-value）：

當(dāng)原假設(shè)為真的時(shí)候得到此樣本結(jié)果以及比此樣本結(jié)果更極端結(jié)果的概率。p值越小，拒絕原假設(shè)的可能性越大。

第一類錯(cuò)誤（type I error）：原假設(shè)為真時(shí)卻拒絕原假設(shè)。犯此錯(cuò)誤的概率為顯著性水平（significance level）。

第二類錯(cuò)誤（type II error）：原假設(shè)為假時(shí)卻沒有拒絕原假設(shè)。不犯此類錯(cuò)誤的概率成為檢驗(yàn)的power（power of the test）。

在樣本容量（sample size）固定的條件下，兩類錯(cuò)誤為此消彼長(zhǎng)的關(guān)系，若想同時(shí)降低兩類錯(cuò)誤，只能提升樣本容量。

 

單總體比例檢驗(yàn)：

雙總體獨(dú)立樣本比例差檢驗(yàn)：

單總體均值檢驗(yàn)：

此時(shí)需考慮總體方差是否已知

（1）若已知?jiǎng)t使用正態(tài)分布進(jìn)行檢驗(yàn)

（2）若未知?jiǎng)t使用t分布進(jìn)行檢驗(yàn)。

 

雙總體均值差檢驗(yàn)：

此時(shí)需考慮總體方差是否已知

（1）若已知?jiǎng)t使用正態(tài)分布進(jìn)行檢驗(yàn)

（2）若未知

a.總體方差不等（pooled=no）

b.總體方差相等（pooled=yes），則使用t分布進(jìn)行估計(jì)，但所用自由度與方差皆不相同。

 

卡方檢驗(yàn)（Chi-square）

擬合優(yōu)度檢驗(yàn)（goodness of fit）：利用樣本信息來檢驗(yàn)總體是否符合某一分布。

獨(dú)立性檢驗(yàn)（independence）：檢驗(yàn)?zāi)骋环诸惤Y(jié)果是否受另一分類影響。

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