數(shù)學(xué)的用處（上）

數(shù)學(xué)的用處（一）

作為科學(xué)家的我們相信，世界是一個復(fù)雜但邏輯高度自洽的體系。但因為世界的復(fù)雜性，大部分簡單直觀邏輯都走不遠(yuǎn)，或不可靠。比如說，某地發(fā)生火災(zāi)，天氣因素(A)更重要還是人為因素(B)更重要？對于這個問題，大部分人可能會下意識地猜一個答案，但更精確的答案可能既非 A?也非 B，而是“夏天 A?重要，冬天 B?重要”（條件），或者是“A?和 B?單獨(dú)出現(xiàn)影響都不大，但是同時出現(xiàn)影響就很大”（相關(guān)），甚至是“A?后于 B?出現(xiàn)則 A?重要，B?后于 A?出現(xiàn)則 B?重要”（時序），更有可能是“A?出現(xiàn)一次沒影響，B?出現(xiàn)一次就挺重要，但 A?出現(xiàn)很多次則成為主要因素”（頻率）。如果一旦通過數(shù)據(jù)和理論分析，能得到這樣精細(xì)的結(jié)果，那我們對世界的認(rèn)識就又深了一層。反之，如果一個學(xué)科沒有反直覺的結(jié)果，一切都順理成章，一通到底，那它一定是還沒有發(fā)展得太深入。

面對這樣的任務(wù)，我們平常使用的自然語言就暴露出不足來了。首先是不夠簡潔， 前面的例子讀者可能已經(jīng)注意到，每一次我們使用自然語言來描述天氣(A)和人為(B)之間的關(guān)系，句子都非常長非常繞口。更嚴(yán)重更麻煩的問題，是自然語言有二義性，說風(fēng)不是風(fēng)，說雨不是雨。今天說風(fēng)，是指空氣流動，明天說風(fēng)，指時尚流行，后天說風(fēng)，指疾病傷痛。這種概念的不確定性在日常生活中比比皆是，甚至是想象力、創(chuàng)造力和幽默感的源頭，卻也會給研究帶來麻煩。試想，若是同一符號指兩個不同的概念，那同行間該如何交流？若是今天寫下的詞句和明天寫下的意義不同，那如何重復(fù)別人的邏輯分析和實(shí)驗？究其根源，是自然語言與環(huán)境的交互太過劇烈，一句話乃至一個字，不僅僅是表達(dá)字面意思，背后都承載著我們此時此地的所思所想和喜樂哀愁，乃至文字的歷史和文化的傳承。而做研究，可是要輕裝上陣的。

與文字類似，比喻和插圖也會有同樣二義性的問題。雖說一圖勝千言，但圖畢竟是二維，圖上畫的也多半是日常物體，它所表達(dá)的含義，能有小半接近復(fù)雜世界的運(yùn)轉(zhuǎn)規(guī)律，那就是不錯了。事實(shí)往往是：分析的理論很抽象，但日常生活太局限，找不到一個具體物品和它有百分之一百的完全對應(yīng)，于是就只好東一塊西一塊，對理論的每部分做個局部的比喻，以讓人有大致而正確的形象。但要說理論能用一兩張圖完全解釋清楚，就不是每次都能做到的。

舉個例子，說電流像水流，從高勢能處流向低勢能處，這個是對的，但是水流沒有 極性，電流的載流子卻有極性。因此“水流說”不能解釋電流在磁場中的霍爾效應(yīng)。黑洞像吸塵器，能把周圍的一切物質(zhì)都吸進(jìn)去，但黑洞還有霍金輻射，這個吸塵器 說不能解釋。一句話，形象的比喻能讓聽眾抓住要點(diǎn)，但遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是事實(shí)的全部。

（當(dāng)然或許有人說吸塵器也可以把吸起去的物質(zhì)倒出來，但是和霍金輻射比，兩者的機(jī)制是完全不同的，強(qiáng)要類比只會給人錯誤的印象。）

數(shù)學(xué)很好地解決了這兩個問題。首先，每個數(shù)學(xué)符號本身毫無意義，它們的意義完全是它們所在的公式、定理及理論框架賦予的，這樣不管讀者是哪國人，受哪種教育，不管他的人生經(jīng)歷和社會經(jīng)驗，不管他的性格是外向開朗還是內(nèi)向深沉，只要從頭細(xì)細(xì)看起，就都能完全把握理論的所有成分，而不會導(dǎo)致誤解的發(fā)生。其次， 因為符號的意義明確，不同符號間的簡單拼接就能表達(dá)復(fù)雜但明確的含義，因此書寫簡潔。相比之下，如果拿“金木水火土”充當(dāng)一個理論體系中的數(shù)學(xué)符號，那因為它們在日常生活中有根深蒂固的含義，理論內(nèi)外的界限就不一定會非常清楚，很多時候一不小心就會誤讀，思考也會被常識“綁架”而偏離正確方向，就達(dá)不成準(zhǔn)確表達(dá)的目標(biāo)了。

當(dāng)然，數(shù)學(xué)對理論的發(fā)展還有更多作用，之后的幾篇會一一陳述。

有了數(shù)學(xué)作靠山以后，很多文字及圖片的二義性可以消除，而科學(xué)專著的作者們， 也就可以任意使用漂亮形象但不太精確的圖示，做有趣生動但不太準(zhǔn)確的比喻了。正因為如此，這些用于讓邏輯關(guān)系形象化的文字解釋、比喻和插圖，都是在特定理論下產(chǎn)生的，只能做特定的解讀，導(dǎo)出特定的結(jié)果。脫開理論背景而孤立地看，就恢復(fù)其二義的本性，存在被天馬行空地誤讀的危險，千萬要小心。比如說“薛定諤的貓”僅僅只是用來說明“微觀的量子疊加態(tài)的宏觀對應(yīng)非常不可思議”，但不能理解成”薛定諤的貓很牛“，“做貓就要做薛定諤的貓”之類。

理解了數(shù)學(xué)的功能和作用，做研究的時候拿它當(dāng)“定船的鐵錨”是再好不過了。在學(xué)習(xí)理解前人的工作時，先把文藝細(xì)胞和想象力創(chuàng)造力收起來，把自己變成一個完全沒有創(chuàng)造思維的人，按照文獻(xiàn)里展開的故事，一步一步地照著去推演，去理解。為了驗證理解的準(zhǔn)確性，問自己問題和做習(xí)題是一個很有效的辦法，在這個環(huán)節(jié)中數(shù)學(xué)可以提供最為精細(xì)的反饋，指出哪里正確，哪里錯誤。一旦對這門學(xué)科的理解大體正確了，進(jìn)入前沿研究階段，創(chuàng)造力才可以涌入，運(yùn)用該學(xué)科的基本原理，推陳出新。在這個時候，思維可以隨意游走，做各種嘗試，科學(xué)的直感可以在迷茫中點(diǎn)亮明燈，但只有它們經(jīng)過了數(shù)學(xué)的考驗，在邏輯上能和已有的理論自洽共處，在實(shí)驗中和已有的數(shù)據(jù)相符，這塊新大陸才真正是被征服了。

在做過若干次這樣的探索后，才會體會到“世界是簡單的”這句話的精神實(shí)質(zhì)。所 謂簡單，是指在充分認(rèn)識和體會到世界的復(fù)雜之后，突然發(fā)現(xiàn)了一些共通的原理， 發(fā)現(xiàn)了一些有趣精巧的結(jié)構(gòu)，而從心底發(fā)出的感嘆，世界是簡單的，但是是以一種 常人想像不到的方式簡單；問題被漂亮地解決了，但方式方法卻在當(dāng)初的意料之外。要是一開始把簡單作為指導(dǎo)方針去看待世界，去研究問題分析問題的話，那我覺得 是本末倒置了，只有在經(jīng)歷過各種煩人細(xì)節(jié)之后，才能知道主次取舍，知道怎么抓 住主干而忽略其余，問題分析才能簡明又透徹。

除了極少純粹的空想最后實(shí)現(xiàn)的例子，在大部分情況下，不對問題有深刻理解，不規(guī)范想象力的產(chǎn)出，是不可能得到任何有意義的結(jié)果的。想象力就如很多只猴子踩打字機(jī)，可能每天踩幾百頁紙出來，但要讓它們踩出一部好作品，概率微乎其微；

如果是一個八歲的孩子，每次能打出一個完整的單詞，那概率就會變大；更進(jìn)一步， 如果是一位作家在碼字，那概率就已經(jīng)高很多了。一句話，想像力越強(qiáng)，則成果越 多（但未必有意義）；基礎(chǔ)知識越豐富思考越深入，成果越可信質(zhì)量也越高，兩個 缺一不可。

愛因斯坦說“想象力比知識更重要”，那是站在他的水準(zhǔn)上說的。

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數(shù)學(xué)的用處（二）

那么怎么學(xué)數(shù)學(xué)才好呢？

首先，要抓住大節(jié)。在一篇文章中，所有的概念，推理，公式全是為了達(dá)成某個目 的，因此先把目的搞清楚就是最重要的。每篇文章的摘要和引言就是為此所設(shè)，既 能讓讀者快速篩選文章，又能引導(dǎo)讀者思路。讀者有了思路之后，大腦中相關(guān)的數(shù) 據(jù)都已載入內(nèi)存，再去看正文，匆匆兩眼就可以知道大體框架是什么，哪些概念和 公式是主要的，哪些是細(xì)節(jié)，然后集中精力把主要脈落理順就好了。這樣去看文章， 又快又好。

站在這個立場上，我不是很贊同“先學(xué)好數(shù)學(xué)，研究才能做好”的觀點(diǎn)。一切手段都是要為目的服務(wù)的。數(shù)學(xué)分支何其龐雜，全部讀完不知道要花多少精力，而且在沒有定下目標(biāo)之前就鉆進(jìn)書本里，就不知主次，經(jīng)常有誤把細(xì)節(jié)當(dāng)成重點(diǎn)的事情發(fā)生，可以說是浪費(fèi)時間了。舉個例子，開集和閉集的區(qū)分，在拓?fù)鋵W(xué)中很重要，兩個集合就差一個點(diǎn)，性質(zhì)有天壤之別；但是如果目標(biāo)是改善數(shù)值計算的算法，那其實(shí)這兩者沒太大區(qū)別。

我有時候想，為什么大家總是很討厭數(shù)學(xué)，就是因為我們要硬教給學(xué)生各種開路造橋的技巧，卻不告訴他們目標(biāo)在何方。學(xué)生們當(dāng)然納悶，自己明明想當(dāng)個編輯，開路造橋和我有啥關(guān)系？反過來，如果先明確了“讓飛機(jī)飛起來”或是“讓機(jī)器下棋更聰明”的目標(biāo)，那么為了完成它，空氣動力學(xué)或者是機(jī)器學(xué)習(xí)就成了自然而然的必修課，我們也不會抱怨復(fù)雜的概念和繁瑣的推導(dǎo)，而是拼盡全力地去思考學(xué)到的哪些東西能讓我們達(dá)成目標(biāo)，這一路走去，樂趣也就多多了。

當(dāng)然，如果有大把的時間可以消費(fèi)，那不妨多看點(diǎn)，因為對一個領(lǐng)域了解深刻了， 才能切實(shí)地感受到要在這個領(lǐng)域做科研，會是什么滋味，對將來的選題大有幫助。以我的經(jīng)驗，以前因為興趣而看的數(shù)學(xué)書，雖然對具體的研究都沒什么用，但卻培養(yǎng)出了一種“這樣的模型是對的，那樣的模型一定什么地方有問題”的直感，等到哪天碰上了難題，說不定就突然從腦子里跳出來了。

其次，要留意技巧。在科研探索的漫長探險中，數(shù)學(xué)技巧就是賴以生存的武器庫。做科研，大家都從同一個目的地出發(fā)，去向不同的地方。有人攀上萬丈山崖，有人潛入萬米深海，有人探險酷熱火山，有人志在冰寒極地。不論去哪里都是極好的，

但每一條路，都需要相應(yīng)的技巧才能達(dá)到別人達(dá)不到的地方。而武器庫里的武器越多，小方法小技巧越多，則面對難題和困境時可以采用的方式方法越多，就越有可能達(dá)到新的層次，發(fā)現(xiàn)新的事實(shí)。

形象地來說，我們從出發(fā)地遠(yuǎn)行，依稀看見遠(yuǎn)處的峰頂，雖然高聳入云令人生畏， 但數(shù)學(xué)告訴我們?nèi)绾吻擅钿伮方虼钐葑拥竭_(dá)目的地，并且知道的越多，辦法就越多；若是望見鏡花水月，雖然近得似乎觸手可及，但數(shù)學(xué)告訴我們?nèi)肆Σ豢蔀?，不用浪費(fèi)時間，提早繞過的好。做學(xué)術(shù)也是這樣，很多事看起來容易，但做起來難， 比如說像費(fèi)馬大定理這種形式簡單的命題，幾百年來無人能解，最后居然是高深的橢圓曲線論的推論；反之，有時候問題看起來無從下手，數(shù)學(xué)卻給你一條巧妙的捷徑戰(zhàn)而勝之。比如兩個凸函數(shù)相加是不是還是凸函數(shù)呢？直覺上每個函數(shù)有唯一一個全局最小值，加起來可能有兩個局部極小值，似乎情況很復(fù)雜。但是嚴(yán)格證明告訴你，相加得到的函數(shù)還是凸函數(shù)，還只有一個全局最小值。這些，都是每一門學(xué)科里“反直覺”的典型體現(xiàn)，是學(xué)科發(fā)展中的精華，把這些關(guān)系記下來反復(fù)運(yùn)用， 就會突破簡單直覺的疆界，產(chǎn)生新的更準(zhǔn)確的直覺和更貼切的比喻，一些本來不清不楚的問題就可以看清了，本來需要絞盡腦汁才明白的情況，現(xiàn)在在更抽象而簡練的概念下，囊括在幾句話中了。

我在讀博之前，寫過“學(xué)數(shù)學(xué)的七個階段”，現(xiàn)在拿過來看，在磨練技巧方面，還是很有借鑒意義的：

階段一：看到滿天的公式不知所云，甚至油然而生一種敬畏心理，崇拜能看懂能讓文章里充滿公式的人。

階段二：跨過了一所帶來的挫敗感，開始自學(xué)數(shù)學(xué)?？墒菚ＣＣ?，不知從哪里開始，也不知道學(xué)了能做什么。正因為不了解，因此對概念名詞有新鮮感和神秘感， 本能地想要找題目高深的書來看，但是符號眾多，晦澀難懂，馬馬虎虎翻過之后， 似乎沒覺得學(xué)到了什么。

階段三：跨過了理解不能的漫漫長夜之后，終于某一天發(fā)現(xiàn)自己開始能看懂公式， 能通過公式了解別人想表達(dá)的觀點(diǎn)了。興奮之情難以言表，然而過了兩日又發(fā)現(xiàn)自己的理解有誤，如此反復(fù)推敲。其間可能數(shù)次將以前的觀點(diǎn)完全推翻，或者因為長時間不能理解而沮喪甚至放棄。

階段四：在看過很多書和文章，及無數(shù)次的冥想苦想之后，自己的理解力終于達(dá)到了“只要花時間下去就基本理解不錯”的境界，一些粗看高深的書，經(jīng)過咀嚼后發(fā)現(xiàn)原來如此。此時可以說體會到了理解數(shù)學(xué)精妙的快樂，學(xué)數(shù)學(xué)也就入門了。

階段五：在四的基礎(chǔ)上，繼續(xù)看書看文章。發(fā)現(xiàn)有些高深的東西在怪異的符號后面其實(shí)沒說什么，或者說用一兩句話就能簡單概括。于是意識到精妙的內(nèi)容不一定需要唬人的形式，新的概念后面未必有新的實(shí)質(zhì)，數(shù)學(xué)真正的“心”可以完全拋卻符

號公式而僅用言語就能講得清楚，而符號或者公式不過只是為了保證邏輯嚴(yán)密性和表達(dá)簡潔性的必要工具。

階段六：有了五的發(fā)現(xiàn)，茫茫書海，篇篇文章開始有了高下之分。與人談?wù)摃r指點(diǎn)江山，嘆有新意者少而炒冷飯者多，至忘情處頗有狂妄自得之態(tài)。

階段七：眼光放遠(yuǎn)，勤思精修，還是發(fā)現(xiàn)令人拍案叫絕的好東西在十年百年前，迥異的思想，驚人的技巧，九曲十折而豁然開朗，零敲碎打而結(jié)論自成，那是一種令人心折的美麗。經(jīng)典的永遠(yuǎn)是經(jīng)典，時間只會證明它們的價值而不是抹去它們的存在。至此，便生敬畏之心，反省自己，想想平生所學(xué)微末伎倆與之相比判若云泥， 虛妄自負(fù)盡去，自卑也生。然而決然之心更勝于前，因為方才得窺至美至妙，又何能禁得住繼續(xù)觀賞的沖動呢？

一言以蔽之，就是不斷看不斷總結(jié)，留意別人用過的技巧和提過的方案，并且仔細(xì)收集體會，比較不同文章間的異同，然后收納入自己的武器庫里面。為了做這樣的收集，時間跨度，領(lǐng)域跨度都可以很大。我個人很熱衷這些，05?年剛開始看論文的時候，無視文章的領(lǐng)域，不記得作者是誰，不關(guān)心實(shí)驗結(jié)果，跳過前兩頁，直接鉆進(jìn)模型里看各種技巧并且樂在其中。之后漸漸明白了文章的主旨和背景更重要， 但這一習(xí)慣仍然頑固難改，并且仍將繼續(xù)頑固下去:-)

這是研究極有樂趣的地方之一。久而久之，別人的辦法都逃不出自己的武器庫，猜功就會越來越好，讀文章也會越來越快，而自己想出來的東西，也就總是比別人更新更有趣一點(diǎn)，發(fā)文也就比較容易中稿。這時候就會發(fā)現(xiàn)，一味欣賞崇拜或是羨慕前人的工作不再重要，簡單套用已有理論去解決問題也不再有趣，卻津津樂道于在已有的數(shù)學(xué)大廈中裁裁剪剪，在收集好的武器庫中左顧右盼，拋開花哨而無用的概念，拾取簡單卻關(guān)鍵的核心，然后重新煅造，回爐成型，為所從事的領(lǐng)域，打一套量身訂做的，精致自洽的新框架，并從這個框架出發(fā)，提出自己的觀點(diǎn)和想法。

這個，就是第八階段。