數論是一門非常神奇的學科。在中國，幾乎所有的數論課程最多也就涵蓋下面這些知識點：

素數與合數，最小公倍數與最大公約數，整除，進制，不定方程，高斯函數，同余，著名的數論定理，升冪定理，階與原根，二次剩余，多項式

也許有些課程中會提到狄利克雷（Dirchlet）定理等，不過老師們對這些定理的介紹千篇一律：順便提一句，有這么個定理，考試不能用。

某IMO金牌大神上課時也表示：我們對素數一無所知，像Dirchlet定理這樣的東西我們就不講了。

可是在AwesomeMaths Level 3 數論講義中的知識和定理，遠遠超出了上述的考綱。它與中國講義中對這些定理避之不及的態度恰恰相反，第一講就從研究素數開始，依次介紹了以下的幾個引理：

1. 不大于n的所有素數乘積有怎樣的上界？

2. 不大于n的所有素數倒數和有怎樣的下界？

3. 不大于n的素數個數有怎樣的上界？

4. 不大于n的素數個數有怎樣的下界？

并借助它們證明了Bertand's Postulate：對每個不小于4的正整數n，在(n, 2n-2]上存在素數。這些問題都需要借助一些較為困難的量級判斷與估算，顯然不在學術活動考題的研究范圍之內，但是據老師所說介紹這些知識是為了 “convince you that number theory is wonderful”。

這本講義的后面幾個部分引入了更為高深的知識：Group theory, euclidean rings, finite fields, Jacobi sum, Jacobi conjecture, Dirchlet theorem，不過同時也與它們在初等數學中的運用進行了有趣的結合。

Szemeredi-Trotter Theorem.?設P為一個點集，L為一個直線集，定義(P, L)的巧合數是滿足以下條件的二元組(A, l)的數量：A在P中，l在L中，A在直線l上。那么，(P, L)的巧合數?=O(|P|^(2/3)|L|^(2/3)+|P|+|L|)。

為了給出它的證明，老師又講解了許多其它定理，包括歐拉公式，有關平面圖的不等式，以及crossing number inequality。（到后面全班昏昏欲睡……）

當然，如果你不去關心這個定理的證明，考慮如何運用它解決問題也是很有意思的。例如以下幾個問題都可以被化為Szemeredi-Trotter Theorem：

設P是一個點集，T(P)是滿足以下條件的二元組(A, B)構成的集合：A, B都在P中，且|AB|=1。證明|T(P)|=O( |P|^(3/2))。

設P是一個點集，證明它們構成的直角三角形個數=O(|P|^(7/3))。（這個問題還需要反演！）

原來，這些作者感興趣的并不是柯西方程在特定條件下的解。他們研究的問題是：如何用某種一一映射來表示出柯西方程的非平凡解？不同的值域與不同的定義域導致了許多種復雜的情形。第一章主要介紹這些內容，充斥著各種高等的記號：他們提到了選擇公理，Hamel Basis等。

然后在第二章，他們又開始介紹柯西方程的推廣：琴生方程，線性柯西方程，Pexider方程，Vincze方程，冪平均方程。

還有更多你從來沒見過的名字：D'Alembert方程，Aczel-Golab-Schinzel方程……

Proof of Lemma.?AoPS是全世界最有名、最有影響力的數學論壇，而美國的整個數學培訓系統幾乎都基于AoPS。在某種程度上AoPS就是美國的XES；但作為一個網站，AoPS顯然很少組織線下課程。另一個日益壯大的機構——AwesomeMaths——在學年里的所有課程也都是網課。□

學學術活動的人基本全部都完完整整地讀過這本書，仔細地看過它的例題分析與知識點講解。當我提到自己從未聽說過Barycentric coordinate是什么計算方法時，美國同學顯得極其震驚。

與中國學術活動教程不同的是，它并不是一本用來刷的書，而是一本用來學、用來看的書。很多人評價說，看完這本書的效果和上完幾期幾何課沒有什么區別。在線下課程資源較少的美國，書反而是最好的老師。

【推論1.1】

【推論1.2】

【推論1.3】

【例題1.4】

【定理2】

【推論2.1】

【例題2.2】

【定理3】

【定理4】

【推論4.1】

【習題】

而中國的講義形式一般是：

【例題1】

【例題2】

【例題3】

【例題4】

【例題5】

【例題6】

【習題】

Pitot's Theorem. 四邊形ABCD有內切圓的等價條件。

No Name Theorem 2. 四邊形ABCD有外接圓的等價條件。（有關對角線交點到四邊的距離）

Brethshneider's Formula. 四邊形ABCD邊與對角線之間的數量關系。

Casey's Theorem. 四個與同一個圓內切，且互相外切的圓之間公切線的數量關系。

Sawayama's Theorem & Thebault's Theorem. 沢山引理。

Erdos-Mordell Inequality. 三角形內部一點到三邊距離的不等關系。

相比之下例題的數量就很少，每個定理至多有2~3道簡單的例題幫助理解；這些例題在大多數情況下也是比較有名的推論與運用。

老師會先花不到2個小時介紹這些定理，剩余的1個小時是所謂的“Problem Session”。每節課設置了10~15道習題，后1個小時就由同學們自己完成這些習題。這些習題的難度同樣是由淺入深，也有相應的提示，這樣就能讓同學們掌握定理的運用方式。當然，到了后面有些題目難度系數很高，老師也會偶爾幫助解決一些“疑難雜癥”；還有一些老師也忘了怎么解決的題目……

上面好像扯得有點遠；無論如何，我們的定理得到了證明。

Remark.?這樣的教學方式當然有好處也有壞處。好處是學生有更多的思考時間，課堂的時間可以更有效地用來講有價值的定理。但壞處也不少：有些學生無法靜下來獨立思考，Problem session有時紀律較差，非常混亂。有時我只能通過GoT中小指頭的名言來安慰自己：Chaos is a ladder...

另外，老師只會講解一兩道最難的題目，而有時習題中大部分題目難度都不小。習題數量又多，難度又高，這就導致了老師講不完，學生做不完，整個課程結束了之后還留下一些懸而未決的題目。

無論如何，在AwesomeMaths的三周很充實，也很快樂。