1數論一、質數和合數（1）一個數除了?1?和它本身，不再有別的約數，這個數叫做質數（也叫做素數）。
一個數除了?1 和它本身，還有別的約數，這個數叫做合數。
（2）自然數除?0?和?1?外，按約數的個數分為質數和合數兩類。
任何一個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式。
要特別記住：0 和 1 不是質數，也不是合數。
（3）?最小的質數是?2?，2?是唯一的偶質數，其他質數都為奇數；最小的合數是?4。
（4）?質數是一個數，是含有兩個約數的自然數。
互質數是指兩個數，是公約數只有一的兩個數，組成互質數的兩個數可能是兩個質數（３和５），
可能是一個質數和一個合數（３和４），可能是兩個合數（４和９）或?1 與另一個自然數。
（５）如果一個質數是某個數的約數，那么就說這個質數是這個數的質因數。
把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。
（６）１００以內的質數有２５個：
２、３、５、７、１１、１３、
１７、１９、２３、?２９、３１、
３７、４１、４３、４７、５３、
５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７．
二、整除性（１）概念
一般地，如?a、b、c?為整數，b≠0，且?a÷b=c，即整數?a?除以整除?b（b?不等于?0），?除得的商?c?正好是整數而沒有余數（或者說余數是?0），我們就說，a?能被?b?整除（或者說b?能整除?a），記作?b｜a。否則，稱為?a?不能被?b?整除（或?b?不能整除?a）。
如果整數?a 能被整數 b 整除，a 就叫做 b 的倍數，b 就叫做 a 的約數。
（２）性質
性質?1：（整除的加減性）如果 a、b 都能被 c 整除，那么它們的和與差也能被 c 整除。即：如果 c｜a，c｜b，那么 c｜（a±b）。
例如：如果?2｜10，2｜6，那么 2｜（10＋6），并且 2｜（10—6）。也就是說，被除數加上或減去一些除數的倍數不影響除數對它的整除性。
性質?2：如果?b?與?c?的積能整除?a，那么?b?與?c?都能整除?a.
即：如果?bc｜a，那么?b｜a，c｜a。
性質?3：（整除的互質可積性）如果 b、c 都能整除 a，且b 和 c 互質，那么 b 與 c 的積能整除 a。
即：如果?b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么 bc｜a。
例如：如果 2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。
性質?4：（整除的傳遞性）如果?c?能整除?b，b?能整除?a，那么?c?能整除?a。
即：如果?c｜b，b｜a，那么?c｜a。
例如：如果?3｜9，9｜27，那么 3｜27。
（３）數的整除特征
①能被 2 整除的數的特征：個位數字是 0、2、4、6、8 的整數.
②能被 5 整除的數的特征：個位是 0 或 5。
③能被 3（或 9）整除的數的特征：各個數位數字之和能被 3（或 9）整除。
判斷能被 3（或 9）整除的數還可以用“棄３（或９）法”：
例如：８３５１７４６能被９整除么？
解：８＋１＝９，３＋６＝９，５＋４＝９，在數字中只剩７，７不是９的倍數，所以８３?５１７４６不能被９整除。
④能被 4（或 25）整除的數的特征：末兩位數能被 4（或 25）整除。
⑤能被 8（或 125）整除的數的特征：末三位數能被 8（或 125）整除。
⑥能被 11 整除的數的特征：這個整數的奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差（大減小）是?11 的倍數。
⑦能被 7（11 或 13）整除的數的特征：一個整數的末三位數與末三位以前的數字所組成的數之差（以大減小）能被 7（11 或 13）整除，依此反復檢驗。
例如：判斷?3546725 能否被 13 整除？
解：把?3546725 分為 3546?和?725?兩個數.因為?3546-725=2821.再把 2821 分為 2?和?821?兩個數，因為?821—2＝819，又?13｜819，所以?13｜2821，進而?13｜3546725.
上述辦法也可以用來判斷余數和末位數；
對于其他的數，可以將其分解成上述幾個互質的數的乘積，再逐個考慮。
三、約數與倍數（１）公約數和最大公約數
幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。
例如：４是12和16的最大公約數，
可記做：（12，16）＝４
（２）公倍數和最小公倍數
幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數；其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。
例如：36?是?12?和?18?的最小公倍數，記作[12，18]=36。
（３）最大公約數和最小公倍數的關系
如果用?a 和 b 表示兩個自然數
１、那么這兩個自然數的最大公約數與最小公倍數關系是：
（a，b）×[a，b]=a×b。（多用于求最小公倍數）
２、（a，b）?≤?a?，b?≤?[a，b]
３、[a，b]是（a，b）的倍數，（a，b）是[a，b]的約數
４、（a，b）是?a＋b?和?a－b?的約數，也是（a，b）＋[a，b]和（a，b）－[a，b]的約數
（４）求最大公約數
方法很多，主要推薦：短除法、分解質因數法、輾轉相除法。
例如：１、（短除法）用一個數去除?30、60、75，都能整除，這個數最大是多少？
解?：∵ （30，60，75）=5×3=15 這個數最大是 15。
２、（分解質因數法）求１００１和３０８的最大公約數是多少？
解：１００１＝７×１１×１３（這個質分解常用到）?，
３０８＝７×１１×４?所以最大公約數是７×１１＝７７
在這種方法中，先將數進行質分解，而后取它們“所有共有的質因數之積”便是最大公約數。
３、（輾轉相除法）用輾轉相除法求?4811?和?1981?的最大公約數。
解：
∵4811=2×1981+849
1981=2×849+283，
849=3×283，
∴（4811，1981）=283。
補充說明：如果要求三個或更多的數的最大公約數，可以先求其中任意兩個數的最大公????約數，再求這個公約數與另外一個數的最大公約數，這樣求下去，直至求得最后結果。
（５）約數個數公式
一個合數的約數個數，等于它的質因數分解式中每個質因數的個數（即指數）加?1 的連乘的積。
例如：求?240 的約數的個數。
解：∵240＝24×31×51，
∴240 的約數的個數是
（4＋1）×（1+1）×（1＋1）=20，
∴240 有 20 個約數。
四、奇偶性（1）?奇數和偶數
整數可以分成奇數和偶數兩大類.能被 2 整除的數叫做偶數，不能被 2 整除的數叫做奇數。
偶數通常可以用?2k（k 為整數）表示，奇數則可以用 2k+1（k 為整數）表示。特別注意，因為 0 能被 2 整除，所以 0 是偶數。
最小的奇數是１?，最小的偶數是０．
（2）奇數與偶數的運算性質
性質?1：偶數±偶數=偶數， 奇數±奇數=偶數。
性質?2：偶數±奇數=奇數。
性質?3：偶數個奇數相加得偶數。
性質?4：奇數個奇數相加得奇數。
性質?5：偶數×奇數=偶數，奇數×奇數=奇數偶數×偶數=偶數
（３）反證法
例：桌上有?9 只杯子，全部口朝上，每次將其中 6 只同時“翻轉”.
請說明：無論經過多少次這樣的“翻轉”，都不能使 9 只杯子全部口朝下。
解：要使一只杯子口朝下，必須經過奇數次“翻轉”.要使 9 只杯子口全朝下，必須經過 9個奇數之和次“翻轉”.即“翻轉”的總次數為奇數.
但是，按規定每次翻轉?6?只杯子，無論經過多少次“翻轉”，翻轉的總次數只能是偶數次.因此無論經過多少次“翻轉”，都不能使?9?只杯子全部口朝下。
這個證明過程教給我們一種思考問題和解決問題的方法.
先假設某種說法正確，再利用假設說法和其他性質進行分析推理，最后得到一個不可能成立的結論，從而說明假設的說法不成立.
這種思考證明的方法在數學上叫“反證法”。
五、大小比較1.比較整數大小：比較整數的大小，位數多的那個數就大，如果位數相同，就看最高位，最高位上的數大，那個數就大;最高位上的數相同，就看下一位，哪一位上的數大那個數就大。
2.比較小數的大小：先看它們的整數部分，，整數部分大的那個數就大;整數部分相同的，十分位上的數大的那個數就大;十分位上的數也相同的，百分位上的數大的那個數就大……
3.比較分數的大小：分母相同的分數，分子大的分數比較大;分子相同的數，分母小的分數大。分數的分母和分子都不相同的，先通分，再比較兩個數的大小。
六、代數式1、代數式的定義：用運算符號把數或表示數的字母連結而成的式子，叫做代數式。單獨的一個數或字母也是代數式。
注意：
(1)?單個數字與字母也是代數式;
(2)?代數式與公式、等式的區別是代數式中不含等號，而公式和等式中都含有等號;(3)代數式 ???可按運算關系和運算結果兩種情況理解。
2、整式：單項式與多項式統稱為整式。
1）.單項式：數與字母的積所表示的代數式叫做單項式，單項式中的數字因數叫做單項式的系數;單項式中所有字母的指數的和叫做單項式的次數。
特別地，單獨一個數或者一個字母也是單項式。
2）.多項式：幾個單項式的和叫做多項式，在多項式中，每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數項;在多項式里，次數最高項的次數就是這個多項式的次數。
3、升(降)冪排列：把一個多項式按某一個字母的指數從小到大(或從大到小)的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母升(降)冪排列。
七、實數基礎實數可以用通過收斂于一個唯一實數的十進制或二進制展開如?{3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定義的序列的方式而構造為有理數的補全。
實數可以不同方式從有理數構造出來。這里給出其中一種。
公理的方法設?R 是所有實數的集合，則：
集合?R 是一個域： 可以作加、減、乘、除運算，且有如交換律，結合律等常見性質。
域 R 是個有序域，即存在全序關系≥ ，對所有實數 x, y 和 z：
若?x ≥ y 則 x + z ≥ y + z;
若?x ≥ 0 且 y ≥ 0 則 xy ≥ 0。
集合?R 滿足完備性，即任意 R 的有空子集 S ( S∈R，S≠Φ)，若 S 在 R 內有上界，那么S 在 R 內有上確界。
最后一條是區分實數和有理數的關鍵。例如所有平方小于?2 的有理數的集合存在有理數上界，如 1.5;但是不存在有理數上確界(因為 √2 不是有理數)。
實數通過上述性質唯一確定。更準確的說，給定任意兩個有序域?R1 和 R2，存在從 R1 到R2 的唯一的域同構，即代數學上兩者可看作是相同的。
相關性質基本運算
實數可實現的基本運算有加、減、乘、除、乘方等，對非負數(即正數和?0)還可以進行開方運算。
實數加、減、乘、除(除數不為零)、平方后結果還是實數。
任何實數都可以開奇次方，結果仍是實數，只有非負實數，才能開偶次方其結果還是實數。
八、數列
九、中位數將數據排序后，位置在最中間的數值。
即將數據分成兩部分，一部分大于該數值，一部分小于該數值。
中位數的位置：當樣本數為奇數時，中位數=(N+1)/2?;
當樣本數為偶數時，
中位數為?N/2?與?1+N/2?的均值
與此類似的還有：
四分位數?（Quartitles）
百分位數（Percentile）
十分位數 （Decile）
理性認識：把一組數據按從小到大的數序排列，在中間的一個數字（或兩個數字的平均值）?叫做這組數據的中位數。
中位數的算法：求中位數時，首先要先排序（從小到大），然后計算中位數的序號，分數據為奇數個與偶數個兩種來求.
中位數算出來可避免極端數據，代表著數據總體的中等情況。
如果總數個數是奇數的話,按從小到大的順序,取中間的那個數
如果總數個數是偶數個的話,按從小到大的順序,取中間那兩個數的平均數眾數
定義：是一組數據中出現次數最多的那個數值，就是眾數，有時眾數在一組數中有好幾個。
用?M?表示。
理性理解：簡單的說，就是一組數據中占比例最多的那個數。
用眾數代表一組數據，可靠性較差，不過，眾數不受極端數據的影響，并且求法簡便
在一組數據中，如果個別數據有很大的變動，選擇中位數表示這組數據的“集中趨勢”就比較適合。
當數值或被觀察者沒有明顯次序（常發生于非數值性資料）時特別有用，由于可能無法良好定義算術平均數和中位數。
例子：{雞、鴨、魚、魚、雞、魚}的眾數是魚。
眾數算出來是銷售最常用的，代表最多的眾數是在一組數據中,出現次數最多的數據， 兩組數據中,都是 1,2 出現次數最多 ，所以 1,2 是眾數
例如：1，2，3，3，4 的眾數是 3。
但是，如果有兩個或兩個以上個數出現次數都是最多的，那么這幾個數都是這組數據的眾數。
例如：1，2，2，3，3，4?的眾數是?2?和?3。
還有，如果所有數據出現的次數都一樣，那么這組數據沒有眾數。
例如：1，2，3，4，5?沒有眾數。
在高斯分布中，眾數位于峰值。
2幾何一、幾何面積知識點1、基本思路：
在一些面積的計算上，不能直接運用公式的情況下，一般需要對圖形進行割補，平移、旋轉、翻折、分解、變形、重疊等，使不規則的圖形變為規則的圖形進行計算;另外需要掌握和記憶一些常規的面積規律。
2、常用方法：
a.?連輔助線方法
b.?利用等底等高的兩個三角形面積相等。
c.?大膽假設(有些點的設置題目中說的是任意點，解題時可把任意點設置在特殊位置上)。
d.?利用特殊規律
①等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。(斜邊的平方除以 4 等于等腰直角三角形的面積)
②梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等。
③圓的面積占外接正方形面積的 78.5%。
3、基礎公式
1）長方形的周長=(長+寬)×2C=(a+b)×2
2）?正方形的周長=邊長×4C=4a
3）?長方形的面積=長×寬?S=ab
4）?正方形的面積=邊長×邊長?S=a.a=a
5）?三角形的面積=底×高÷2S=ah÷2
6）?平行四邊形的面積=底×高?S=ah
7）?梯形的面積=(上底+下底)×高÷2S=(a+b)h÷2
8）?直徑=半徑×2d=2r?半徑=直徑÷2r=d÷2
9）?圓的周長=圓周率×直徑=圓周率×半徑×2c=πd=2πr
10） 圓的面積=圓周率×半徑×半徑
二、立體圖形相關公式
依次為：名稱、圖形特征、表面積、體積
長方體
8 個頂點，6 個面，相對的面相等，12 條棱，相對的棱相等;
S=2(ab+ah+bh) V=abh=Sh
正方體
8 個頂點;6 個面，所有面相等，12 條棱，所有棱相等;
S=6a2 V=a3
圓柱體
上下兩底是平行且相等的圓，側面展開后是長方形;
S=S 側+2S 底
S 側=Ch V=Sh
圓錐體
下底是圓，只有一個頂點，l：母線，頂點到底圓周上任意一點的距離;?S=S 側+S 底
S 側=rl V=Sh
球體
圓心到圓周上任意一點的距離是球的半徑。
S=4r2 V=r3
三、三角形、圓1、兩圓外離?d﹥R+r
兩圓外切 d=R+r
兩圓相交?R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)
兩圓內切?d=R-r(R﹥r)
兩圓內含?d﹤R-r(R﹥r)
2、相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦
3、把圓分成 n(n≥3)：
依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正?n 邊形經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正?n 邊形
4、任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓
5、正n邊形的每個內角都等于(n-2)×180°/n
正?n 邊形的半徑和邊心距把正 n 邊形分成 2n 個全等的直角三角形
正 n 邊形的面積
Sn=pnrn/2
p 表示正 n 邊形的周長
正三角形面積√3a/4 ，a 表示邊長
如果在一個頂點周圍有?k 個正 n 邊形的角，由于這些角的和應為 360°，因此 k×(n-2)180°/n=360°化為(n-2)(k-2)=4
6、弧長計算公式：L=n∏R/180
扇形面積公式：S 扇形=n∏R/360=LR/2
內公切線長= d-(R-r) 外公切線長= d-(R+r)
7、勾股定理
性質
a.直角三角形兩直角邊為 a 和 b，斜邊為 c，那 a2+b2=c2 b.勾股數互質
概念
在任何一個的直角三角形(Rt△)中，兩條直角邊的長度的平方和等于斜邊長度的平方(也可以理解成兩個長邊的平方相減與最短邊的平方相等)。
勾股數通式和常見勾股素數
若?m 和 n 是互質，而且 m 和 n 至少有一個是偶數，計算出來的 a, b, c 就是素勾股數。(若 m 和 n 都是奇數， a, b, c 就會全是偶數，不符合互質。)
所有素勾股數(不是所有勾股數)都可用上述列式當中找出，這亦可推論到數學上存在無窮多的素勾股數。
常見的勾股數及幾種通式：
(1) (3， 4， 5), (6， 8，10) … …
3n,4n,5n (n 是正整數)
(2) (5，12，13) ,( 7，24，25), ( 9，40，41) … …
2n + 1, 2n^2 + 2n, 2n^2 + 2n + 1 (n 是正整數) (3) (8，15，17), (12，35，37) … …
2^2*(n+1),[2(n+1)]^2-1，[2(n+1)]^2+1 (n 是正整數) (4)m^2-n^2,2mn,m^2+n^2 (m、n 均是正整數，m>n)
四、角角的大小與邊的長短沒有關系;角的大小決定于角的兩條邊張開的程度，張開的越大，角就越大，相反，張開的越小，角則越小。
在動態定義中，取決于旋轉的方向與角度。角可以分為銳角、直角、鈍角、平角、周角、負角、正角、優角、劣角、0?角這?10?種。
以度、分、秒為單位的角的度量制稱為角度制。
此外，還有密位制、弧度制等。
銳角：大于?0°，小于?90°的角叫做銳角。
直角：等于?90°的角叫做直角。
鈍角：大于?90°而小于 180°的角叫做鈍角。
平角：等于 180°的角叫做平角。
優角：大于?180°小于 360°叫優角。
劣角：大于?0°小于 180°叫做劣角，銳角、直角、鈍角都是劣角。
周角：等于 360°的角叫做周角。
負角：按照順時針方向旋轉而成的角叫做負角。
正角：逆時針旋轉的角為正角。
0 角：等于零度的角。
余角和補角：兩角之和為?90°則兩角互為余角，兩角之和為 180°則兩角互為補角。
等角的余角相等，等角的補角相等。
對頂角：兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點且兩個角的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做互為對頂角。
兩條直線相交，構成兩對對頂角。互為對頂角的兩個角相等。
還有許多種角的關系，如內錯角，同位角，同旁內角(三線八角中，主要用來判斷平行)!
3計算一、常用計算公式1、基數×點數=總數
總數÷點數=份數
總數÷份數=每份數
2、倍數×倍數=幾倍數
幾倍數÷1 倍數=倍數
幾倍數÷倍數=1 倍數
3、速度×時間=路程
路程÷速度=時間
路程÷時間=速度
4、單價×數量=總價
總價÷單價=數量
總價÷數量=單價
5、工作效率×工作時間=工作總量
工作總量÷工作效率=工作時間
工作總量÷工作時間=工作效率
6、加數+加數=和
和-一個加數=另一個加數
7、被減數-減數=差
被減數-差=減數
差+減數=被減數
8、因數×因數=積
積÷一個因數=另一個因數
9、被除數÷除數=商
被除數÷商=除數
商×除數=被除數
二、豎式字謎1、數字謎
一般是指那些含有未知數字或未知運算符號的算式。這種不完整的算式，就像謎一樣，要解開這樣的謎，就得根據有關的運算法則、數的性質（和差積商的位數，數的整除性、奇偶性、位數規律等）來進行正確的推理、判斷。
2、解數字謎
一般是從某個數的首位或末位數字上尋找突破口。推理時應注意：
1.?數字謎中的文字、字母或其它符號，只取?0-9?中的某個數字；
2.?要認真分析算式中所包含的數量關系，找出盡可能多的隱蔽條件；
3.?必要時應采用枚舉和篩選相結合的方法（試驗法），逐步淘汰掉那些不符合題意的數字；
數字謎解出之后，最好驗算一遍。
4.排列組合初步一、解排列組合問題首先要弄清一件事是"分類"還是"分步"完成,對于元素之間的關系,還要考慮"是有序"的還是"無序的",也就是會正確使用分類計數原理和分步計數原理,排列定義和組合定義,其次,對一些復雜的帶有附加條件的問題,需掌握以下幾種常用的解題方法:
1、特殊優先法
