2018-美國數學競賽-2018-AMC12A Problem 23

各位同學，大家好，在接下來的一段時間內，我將會更新美國數學學術活動和滑鐵盧數學學術活動的最后幾道題的解答過程。

今天我們先來看

2018-AMC12A Problem 23： 在△PAT中，∠P = 36°，∠A = 56°，并且PA=10. 點U和G分別在邊TP和TA上，并且PU = AG = 1. M 和 N分別是線段PA和UG的中點，直線MN和PA所形成的銳角是多少度？

由題意作圖如下： 這道題雖然不容易，但是對于經歷過中考廝殺的同學來說應該不算難。看到這兩個明晃晃的中點M和N，不知道同學們有沒有想到倍長中線，有沒有想到構造全等三角形來試一試？

那么接下來我們就來試一試。

倍長中線造全等：

由全等三角形的性質可知，PU=PG'=1, ∠G'PM=∠A=56°。即△PUG'是頂角為92°的等腰三角形。

如圖所示，△PUG' 的底角即為44°：

又M和N均為中點，那么在△GUG' 中，MN是中位線，即MN∥UG'，由【兩直線平行，同位角相等】即可知所求的角等于80°。