備考攻略丨AP物理中典型的滑輪問(wèn)題如何解決？

滑輪問(wèn)題是典型的物理力學(xué)問(wèn)題，不僅在AP physics的各門(mén)考試中出現(xiàn)，在IB考試和SAT2 physics考試中也經(jīng)常出現(xiàn)。典型的滑輪問(wèn)題：通常會(huì)給出物體質(zhì)量，讓同學(xué)們

計(jì)算釋放之后物體的加速度（acceleration）a以及繩子中的張力（tension force)FT。（如下圖）

滑輪問(wèn)題的特點(diǎn)是：包含多個(gè)研究對(duì)象，解決起來(lái)相對(duì)復(fù)雜。

滑輪問(wèn)題又可以分為兩種情況：滑輪質(zhì)量可以忽略與滑輪質(zhì)量不能忽略。

在講解如何解決此兩類(lèi)問(wèn)題之前，要先強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：

FT與物體的重力（weight）不相等

盡量不要采用整體法來(lái)研究此類(lèi)問(wèn)題

當(dāng)研究一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題的時(shí)候，我們的基本思路是將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成若干簡(jiǎn)單問(wèn)題的疊加。有兩層意思：首先，我們要將一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題拆分成若干個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題；其次，我們要找到這些簡(jiǎn)單問(wèn)題之間的聯(lián)系。

滑輪問(wèn)題的復(fù)雜性體現(xiàn)在所需要研究的系統(tǒng)存在多個(gè)物體，要注意基本思路是：對(duì)每個(gè)物體單獨(dú)做受力分析，并根據(jù)牛頓第二定律?Fnet=ma 列方程，然后找到各個(gè)物體之間的受力與運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系。

接下來(lái)，分別針對(duì)兩種不同情況進(jìn)行分析:

1、當(dāng)滑輪質(zhì)量可以忽略的時(shí)候

此種情況相對(duì)簡(jiǎn)單，因?yàn)榛啗](méi)有質(zhì)量，所以滑輪兩邊的FT相等，可以看做是m與M之間的相互作用力（action-reaction）。這就是物體之間受力的聯(lián)系。每個(gè)物體都受到兩個(gè)力的作用——FT和自身的重力（weight）。

但是，因?yàn)楫?dāng)物體被釋放時(shí)，兩個(gè)物體都在做加速運(yùn)動(dòng)，所以此二力不相等（注意！）。

另外，由于繩子的長(zhǎng)度不變，所以兩個(gè)物體的a大小相等。這就是物體之間運(yùn)動(dòng)的聯(lián)系。

由此，我們可以根據(jù)牛頓第二定律列出下面的兩個(gè)方程：

其中只有兩個(gè)未知數(shù)——FT與a，此題可解。

同學(xué)們?cè)谧鲱}的時(shí)候比較容易犯的錯(cuò)誤是誤將FT當(dāng)作與mg相等，從而得出錯(cuò)誤答案。其錯(cuò)誤的本質(zhì)是希望只通過(guò)列一個(gè)方程就解出答案。但是在研究類(lèi)似的復(fù)雜問(wèn)題的時(shí)候，我們往往需要列出多個(gè)方程。

另外，有的同學(xué)希望可以用整體法來(lái)解此類(lèi)問(wèn)題，即將m與M看做一個(gè)整體，這樣可以只列出一個(gè)方程：Mg-mg=（M＋m）a 就解出a，但并不建議大家這樣做。

原因是這樣看似簡(jiǎn)單，卻容易出錯(cuò)，而且只能計(jì)算出a，如果要計(jì)算FT還是要再列方程求解；更重要的是，這種方法只能在滑輪質(zhì)量忽略不計(jì)的情況下使用，如果考慮到滑輪存在質(zhì)量的情況，此種方法就不適用了。接下來(lái)，我們就來(lái)討論一下這種情況。

2、當(dāng)滑輪質(zhì)量不能忽略

當(dāng)滑輪的質(zhì)量Mpulley不能忽略時(shí)，m與M在做平動(dòng)運(yùn)動(dòng)（linear motion），滑輪在做轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)（rotational motion）。

當(dāng)我們研究滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，要考慮到滑輪存在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（moment of inertia）I（通?；喛梢钥醋鰣A盤(pán)，所以 I=(1/2)MpulleyR?2; 其中R為滑輪半徑）以及角加速度（angular acceleration）α，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)（rotational dynamics)τnet=Iα, 作用在滑輪上的靜力矩（net torque）不能為0，故此時(shí)滑輪兩端的FT大小不相等。

這也就是整體法不適用的原因。

這里我們假設(shè)與m和M相連的繩子中的張力分別為FTm和FTM，所以作用在滑輪上的

（同一段繩子上的張力相等）。這就是物體之間受力的聯(lián)系。

由于繩子長(zhǎng)度不變，所以兩個(gè)物體的a大小仍然相等。而且，物體的a就等于繩子上任意一點(diǎn)的a（包括與滑輪接觸的點(diǎn)），如果繩子不打滑，繩子上與滑輪接觸的點(diǎn)與滑輪邊緣上的點(diǎn)應(yīng)該具有相同的a。

根據(jù)平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的關(guān)系，我們可以得出a=αR。這就是物體之間運(yùn)動(dòng)的聯(lián)系。

由此，我們可以根據(jù)牛頓第二定律、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)和平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的關(guān)系列出下面的四個(gè)方程：

其中只有四個(gè)未知數(shù)——FTM 、FTm、 a 與α此題可解。同學(xué)們?cè)诮鉀Q這類(lèi)問(wèn)題的時(shí)候比較容易犯的錯(cuò)誤是忽略了滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)效果，錯(cuò)認(rèn)為滑輪兩端的FT相等，將其當(dāng)作第一種情況來(lái)解答，從而得出錯(cuò)誤答案。

所以同學(xué)們?cè)谧龌唵?wèn)題的時(shí)候一定要把題目條件看清楚（主要是滑輪是否有質(zhì)量）。當(dāng)然，在接觸滑輪問(wèn)題的時(shí)候也可能會(huì)碰到其他的情況。

比如：其中一個(gè)物體放置在水平桌面上（甚至是斜面上）；滑輪是由兩個(gè)半徑不同的圓盤(pán)粘合而成；需要通過(guò)能量的方法來(lái)計(jì)算物體的速度等等。

不管問(wèn)題怎么變化，我們基本的解題方法是相同的：首先，對(duì)每個(gè)物體單獨(dú)進(jìn)行受力分析，并根據(jù)

能量守恒（conservation of energy）等物理學(xué)規(guī)律針對(duì)每個(gè)物體列方程；

其次，找到物體之間受力的聯(lián)系，主要依據(jù)是牛頓第三定律（action-reaction）；

最后，找到物體之間運(yùn)動(dòng)的聯(lián)系：根據(jù)繩長(zhǎng)不變可得出做平動(dòng)運(yùn)動(dòng)的物體位移（displacement）、速度（velocity）、加速度（acceleration）大小相等，根據(jù)平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)之間的關(guān)系可得出a=αR、v=ωR（其中ω為轉(zhuǎn)動(dòng)角速度angular velocity）等等。