A-level微積分丨鏈式法則為什么不可以約分？

鏈式法則作為微積分入門時必須get到的技能之一，真的是傷害了很多同學。直到學完了進階的最后一個模塊，還是有同學問我：“老師，不可以約分嗎？”Wendy老師慎重的告訴你：“不約！”先來講會道理~

 

1.1 通過物理模型來理解鏈式法則

 

 

我們通過理想齒輪和皮帶傳動這樣一個物理模型來理解鏈式法則：

 

 

解釋一下，上面動畫中，有三個齒輪，其中 x齒輪自己有動力，我們可以把它看作自變量，而 u齒輪和 x齒輪通過皮帶連接起來的時候， u的轉動就和 x相關了，所以 u可以看作是 x的函數，所以 u的轉動速度和 x的速度相關（根據物理知識，還跟兩個齒輪的半徑比值有關）。 du/dx就是 u的速度相對于 x速度的變化率（說人話就是 u速度是x 速度的幾倍）。而連接 y和 x的皮帶的話就相當于建立了一個復合函數。

 

觀察并操作上面的動畫，容易看出：，可以對鏈式法則建立直觀印象。

 

1.2 理解誤區

 

鏈式法則本身還是很好記憶的，尤其是這種形式：，感覺 du仿佛可以消去一樣：

 

 

這種理解是錯誤的，這只是一個巧合。兩個 du并非同一個函數。

 

 

 

注意這兩幅圖的坐標是不一樣的。

 

 

自然無法消去，只是看起來好像可以消去：

 

1.2.1 一階微分不變性

 

 

一階微分不變性實際上和鏈式法則是等價的。我們回頭來看看剛才橫坐標為 u的圖：

 

 

1.3 小結

 

在一階求導、積分的時候，把 du看作可以消除的量似乎運轉的很好，但是這些都是巧合（或者說是微積分符號設計上的巧妙，這得歸功于萊布尼茲）。雖然這種誤解有助于我們記憶某些定理、公式，但我們一定要知道為什么？

 

 

A-level業余制優勢介紹：

1.在國內就可以上英國高中課程，一方面提早讓學生適應國外課堂做好與國外大學的銜接，另一方面則是更加省錢；

2.學習時長一般為兩年制，較普通高中時間利用率跟為靈活；

3.Alevel每年三次考試機會，取最高成績，避免了高考“一考定終身”；

4.Alevel主要側重理科學科測試，對于非英語母語的中國學生來說，語言壓力較小。