為什么孩子能看懂英文小說，卻看不懂英文數學題？

對于想把孩子送往美國、加拿大讀本科或高中的家長來說，數學是無法繞過的一道坎。在我們的日常培訓與教學過程中，經常發現孩子的英文能力很強，甚至可以毫不費力地閱讀英文小說，在校的數學成績也很好，可一旦參加國際學術活動或SAT升學考試，數學成績卻不太理想。造成上述情況的原因很多，需要老師教學過程中注意觀察溝通，找出孩子的梗阻點，才能對癥下藥予以解決。美國數學學術活動（AMC）是學生為升入優質美高或美本用以證明自身數學實力的重要比賽，以下我們以美國數學學術活動為例予以說明。

 

首先，基本的生活常識而非數學知識不夠，往往是原因之一。國際數學學術活動或是美加的數學考試里，經常會出現和我們日常生活中不同的事物或生活場景描述，有些如dime是多少? inch和feet哪個大？這些比較容易補，但是有些基本生活常識，是需要日積月累的背景知識的。以下題為例：

 

At the beginning of a trip, the mileage odometer read 56,200 miles. The driver filled the gas tank with 6 gallons of gasoline. During the trip, the driver filled his tank again with 12 gallons of gasoline when the odometer read 56,560. At the end of the trip, the driver filled his tank again with 20 gallons of gasoline. The odometer read 57,060. To the nearest hundredth, what was the car's average gallon-per-mile for the entire trip?

 

 

出發前，里程表顯示56,200英里，司機加了6加侖的油，把油箱加滿了。出發途中，司機又加了一次油，加了12加侖，這時的里程表顯示56,560英里。到達目的地，里程表顯示57,060英里，這時司機又把油箱加滿，加了20加侖的油。請問全程平均每英里耗油多少（精確到小數點后兩位）？

 

都知道平均每英里耗油=總耗油/總英里數，但是這里有很多數據，到底哪個是總路程，哪個是總耗油量呢？

 

我們知道可以通過里程表來看這輛車一共開了多少英里，這也是車子質量好壞的重要指標。這輛車出發前英里數56,200，到達后英里數57,060，所以中間開了57,060-56,200=860英里。

 

很多人可能認為這里有三次加油，需要把它們加起來，也就是6+12+20=38加侖。但是我們再聯系現實情況仔細想一想，我們一般會在長途開車前加滿油，這時候加的油的量應該算在這次旅行的全程耗油量里嗎？出發前那次加油，只是為了補足之前的耗費的油，和接下來那次旅途沒有關系。

 

那么結束后那次加滿的20加侖應該算進去嗎？因為一開始油是加滿的，所以旅途全程的耗油量，應該要在都是加滿的狀態下來看，開始加滿后到最后加滿后這兩種狀態中間加的油的量，也就是12+20=32加侖。最后用32/860=0.0372……，根據四舍五入，精確到小數點后兩位，答案就是0.04加侖/英里。

 

 

 

再比如這一道：

 

The five tires of a car (four road tires and a full-sized spare) were rotated so that each tire was used the same number of miles during the first 30, 000 miles the car traveled. For how many miles was each tire used?

 

車子有五個輪胎（四個輪胎和一個全尺寸備用胎），車子開30,000英里，要求每個輪胎轉過的英里數相同，請問每個輪胎轉了多少英里數？

 

這題需要首先理解一輛車為什么會有五個輪胎，因為有一個是為了以防爆胎的備用胎，盡管如此，車輛實際行駛過程中，不可能5個輪子同時使用，只會是四個輪胎在同時使用。這題設置了一種情境：在行駛30，000英里的過程中，五個輪胎輪替使用，而且要求每個輪胎轉過的英里數要相同，這是比較理想化的情況，正常情況下不易達到，需要多次把這五個輪胎替換使用，我們一般不會這么干，所以同學可能會比較困擾。但很多時候，數學研究的問題是來源于現實，但現實又不完全能達到的，所以我們還是要以題目要求為準。我們可以先思考如果不增加第5個備用輪胎，只是用4個正常輪胎進行，那么，車子開了30,000英里，每個輪胎實際行駛多少英里？這樣想，很容易就能明白，每個輪胎實際上都行駛了30，000英里，也就是說：4個輪胎加在一起的總英里數是：30,000*4=120,000英里。現在增加1個輪胎，要求這五個輪胎每一個開過相同的英里數，因此，平均下來每個輪胎開過英里數就是：120,000/5=24,000英里。

 

第二種情況往往與孩子對特殊的數學表達句式與句型不熟悉有關。以下題為例：

 

In a collection of red, blue, and green marbles, there are 25% more red marbles than blue marbles, and there are 60% more green marbles than red marbles. Suppose that there are r red marbles. What is the total number of marbles in the collection?

 

紅、藍、綠三種彈珠，紅彈珠比藍彈珠多了25%，綠彈珠比紅彈珠多了60%。如果有r個紅彈珠，請問總共有多少個彈珠。

 

 

 

這題是一個百分比的增加、減少問題，這類問題的難點在于到底誰比誰多？多了誰的25%？多了誰的60%？我們先思考這樣一個問題：“紅比藍多了25%”與“藍比紅少了25%”，是不是一個意思？

 

紅(r)比藍(b)多了25%，那么紅的數量就是在藍的基礎上加上藍的數量的25%，藍是因，紅是果，用數學語言來表達就是：r=b+25%b=b(1+25%)=1.25b, 所以b=0.8r。

 

而藍比紅少了25%，是指在紅的基礎上減少紅的25%之后，就是藍的數量了。紅是因，藍是果，用數學語言來表達就是：b=r-25%r=r(1-25%)=0.75r。

 

這樣看來“紅比藍多了25%”與“藍比紅少了25%”這兩個并非一回事，因為變化的25%的基準不一樣。所以解決百分數問題，一定要注意誰是基準，也就是誰是因，誰是果。

 

這道題目有一個句式：25% more red marbles thanblue marbles?這是用于兩個量互相比較一個常用的句式，它等于Red marbles are 25% more than blue marbles。紅彈珠比藍彈珠多（藍彈珠的）25%。

 

類似的句式還有：There are 3 times as many boys as girls in our school. 這句話也可以寫 Number of boys is 3 times as many as number of girls。男生人數是女生人數的3倍。

 

明白了上面的表達的含義，我們就可以很容易地根據題意“綠彈珠（g）比紅彈珠(r)多60%”知道，g=r+60%r=1.6r, 這樣三種彈珠加在一起的總量就是r+b+g=r+0.8r+1.6r=3.4r。

 

類似這種問題，要求學生能準確理解提意，畢竟在數學的世界里，差之毫厘，謬以千里。通過多做類似題目，熟悉數學的常用表達句式句型，避免在這類問題中出錯并不困難。

 

第三種情形是抽象思維能力不足。

 

A checkerboard consists of one-inch squares. A square card, 1.5 inches on a side, is placed on the board so that it covers part or all of the area of each of n squares. The maximum possible value of?n is ________

 

一個棋盤由若干邊長為1英寸的正方形組成。一張邊長1.5英寸的正方形紙片蓋住了棋盤上n個正方形，請問n的最大值是什么?

 

這道題沒有提供配圖，需要自己想象題目的情境。很多學生看到checkerboard，不知道是什么意思，就做不下去了。Checkerboard是國際象棋的棋盤，如果你見過國際象棋，那么可能你的腦海里就會出現它的樣子，這就和題目里“由若干邊長為1英寸的正方形組成”吻合起來了。

 

 

 

題目要求用一張邊長1.5英寸正方形紙片蓋在棋盤上，而且要使蓋到的方塊最多，而對角線是方紙片中最長的距離，所以要把紙片的對角線蓋在原棋盤上，讓紙片的中心和棋盤的格點重合。根據勾股定理，邊長1.5英寸正方形紙片的對角線長1.5，約2.121，所以這張紙片蓋上去會是這樣的效果，對角線蓋住了2格多一點，這樣就最多蓋住了12塊方格。這題對于孩子的想象力、抽象思維能力和優化解決問題的能力要求很高。

 

 

 

第四種困擾中國孩子的問題就是邏輯推理題。

 

 

Five cards are lyingon a table as shown.

 

 

Each card has a letter on one side and a whole number on the other side. Jane said, "If a vowel is on one side of any card, then an even number is on the other side." Mary showed Jane was wrong by turning over one card. Which card did Mary turn over?

 

 

如圖所示，桌上有五張卡片，每張卡片一面是一個自然數，另一面是一個字母。Jane說：“如果卡片的一面是一個元音字母，那么另一面一定是一個偶數。”Mary翻開了其中一張卡片，就證明了Jane說的是不對的，請問Mary翻開的是哪一張？

 

 

怎樣證明一個命題是錯誤的？試想，如果我想推翻這個命題“如果現在學習好，將來一定能進入名牌大學”我只需找“沒有進入名牌大學“的人，然后問他從前學習好不好，如果他說他學習好，那么就可以用來推翻這個命題。

 

如果我找了一個“進了名牌大學“的人，問他從前學習好不好，如果他說學習好，那只會印證了這個命題；如果他說他從前學習不好，那也只是說明進名牌大學不一定要成績好，并不能證明成績好的是否一定能進名牌大學。

 

回到這道題，Mary要想推翻“如果卡片的一面是一個元音字母，那么另一面一定是一個偶數”這句話，就要先找到一張一面不是偶數的卡片，只有翻過去看到另一面不是元音字母，就可以推翻了。所以她需要翻那張“3”的卡片。