2018年貴港市中考數學壓軸題分析

【題目】

（2018?貴港）已知：A、B兩點在直線l的同一側，線段AO，BM均是直線l的垂線段，且BM在AO的右邊，AO=2BM，將BM沿直線l向右平移，在平移過程中，始終保持∠ABP=90°不變，BP邊與直線l相交于點P．

（1）當P與O重合時（如圖2所示），設點C是AO的中點，連接BC．求證：四邊形OCBM是正方形；

（2）請利用如圖1所示的情形，求證：AB/PB=OM/BM；

（3）若AO=2√6，且當MO=2PO時，請直接寫出AB和PB的長．

【答案】

解：（1）∵2BM=AO，2CO=AO，∴BM=CO，

∵AO∥BM，∴四邊形OCBM是平行四邊形，

∵∠BMO=90°，∴?OCBM是矩形，

∵∠ABP=90°，C是AO的中點，∴OC=BC，

∴矩形OCBM是正方形．

 

（2）【方法一】垂直模型—弦圖構造1

過點B作BC⊥AO，垂足為C，

易得四邊形BCOM為矩形，

所以BM=CO=AC=1/2AO，BC=OM，∠CBM=90°．

因為∠ABP=90°，所以∠ABC=∠PBM．

所以△ABC∽△PBM，

所以AB/PB=BC/BM=OM/BM．

【方法二】垂直模型—弦圖構造2

過點A作AC⊥BM，垂足為C，

易得四邊形ACBO為矩形，

則CM=AO=2BM，AC=OM，∠C=90°，

所以BC=BM，

因為∠ABP=90°，∠BMO=90°，

所以∠BAC=∠MBP，

易得△BPM∽△ABC，

則AB/PB=AC/BM=OM/BM．

 

【方法三】反A（共邊共角）

過點B作BC⊥AO，垂足為C，并連接OB，

易得四邊形BCOM為矩形，

所以CO=BM=AC=1/2AO，BC∥OM，∠BCO=∠MBC=90°．

所以AB=OB．

易得∠ABC=∠OBC=∠MOB，

因為∠ABP=∠MBC=90°，所以∠ABC=∠PBM，

所以∠MOB=∠PBM，所以△BOM∽△PBM，

所以AB/BP=OB/BP=OM/BM．

 

【方法四】三線合一—射影定理

延長AB交直線l于點C，并連接AP，

易得AO∥BM，

因為BM=1/2AO，所以BC=1/2AC，MC=1/2OC，

即點B為AC的中點，M為OC的中點

由∠ABP=90°，得AP=CP，

易得△PBC∽△BMC，

所以AB/PB=BC/PB=MC/BM=OC/BM．

 

【方法五】四點共圓

連接AP、OB，

∵∠ABP=∠AOP=90°，∴A、B、O、P四點共圓，

由圓周角定理可知：∠APB=∠AOB，

∵AO∥BM，∴∠AOB=∠OBM，∴∠APB=∠OBM，

∴△APB∽△OBM，∴AB/PB=OM/BM．

 

（3）當點P在O的左側時，如圖所示，

過點B作BD⊥AO于點D，易證△PEO∽△BED，

∴PO/BD=OE/DE．

易證：四邊形DBMO是矩形，

∴BD=MO，OD=BM．∴MO=2PO=BD，

∴OE/DE=1/2，∵AO=2BM=2√6，

∴BM=√6，∴OE=√6/3，DE=(2√6)/3，

易證△ADB∽△ABE，

∴AB2=AD?AE，∵AD=DO=DM=√6，

∴AE=AD+DE=(5√6)/3．∴AB=√10，

由勾股定理可知：BE=(2√15)/3，

易證：△PEO∽△PBM，

∴BE/PB=OM/PM=2/3，

∴PB=√15．

當點P在O的右側時，如圖所示，

過點B作BD⊥OA于點D，

∵MO=2PO，∴點P是OM的中點，

設PM=x，BD=2x，∵∠AOM=∠ABP=90°，

∴A、O、P、B四點共圓，∴四邊形AOPB是圓內接四邊形，

∴∠BPM=∠A，∴△ABD∽△PBM，∴AD/BD=PM/BM，

又易證四邊形ODBM是矩形，AO=2BM，

∴AD=BM=√6，∴√6/2x=x/√6，解得：x=√3，

∴BD=2x=2√3．

由勾股定理可知：AB=3√2，BM=3．

 

【總結】

本壓軸題的關鍵在于第2問，第2問的結論是一個成比例的關系，那么很容易想到相似，根據結論很想直接證明△APB∽△OBM相似．如果不用四點共圓來證明的話，就感覺很難找到等量關系來證明結論．

不過也不用擔心，題目的關鍵條件就是90°和倍半的線段關系，由此，我們就可以想到利用構造弦圖或者三線合一的方式來證明我們想要的結論．通過不斷嘗試，發現這幾種方向都是可行的．

每次我們遇到難題的時候，感覺走投無路了，那我們就要抓住題目的核心條件或者關鍵問題，很可能就是我們思路的突破口．找到突破口，問題即可迎刃而解，柳暗花明．

 

【舉一反三】

本題是一道期末考試題，看似無從下手，但是也是曲徑通幽的感覺．同學們可以思考一下，方法參考上題即可．