2025年已經進入最后一個月倒計時了，除了正在為明年1月份AMC8比賽全力備戰的學生之外，也有不少先知先覺的家長已經在為孩子規劃26年的數學學習節奏了。
數學怎么學、競賽怎么打？
學霸如何施展才華、普娃如何彎道超車？
昨天，小林和翰林的一位金牌導師做了一場“聊天”，這場聊天源于這位導師閑聊時說的一句話：
“我帶的高齡學生中，低齡學過競賽的和沒學過競賽比，思維差距真的太大了。”
說這句話的就是翰林數學學科金牌導師——郭勉之老師！
● 北京大學碩士畢業，國際教育行業已有六年多工作經驗，累計授課時長超過9000小時。
●高中數學教師資格證以及各類競賽獲獎證，AMC官方授予優秀教練證書，AP官方認證教師。
●美國AMC12/10/8競賽學生進復賽以及獲獎率平均超過65%。
2023年，郭老師有近30個學生晉級AIME，基本都是前5%或1%，獲獎率超過70%，可以說真的是拿獎拿到手軟。
然而有趣的是，郭老師說這些拿獎的學生并不像我們想象的那樣天賦異稟，甚至她曾經帶過的眾多獲獎選手中，有些還曾經是班里的“倒數”。
拿獎的學生都有哪些特質？
她是如何讓學生實現“逆襲”的？
為什么她如此看重低齡段的競賽學習經驗？
小林和郭老師談了1個半小時，以下這些干貨你千萬不能錯過。
北大才女到“教書匠”
她有什么數學學習秘訣
Q、您是北大畢業的，當時讀的是什么專業？
為什么后來選擇當老師呢？
當時讀的是芯片和微電子專業，不過其實很早以前我就對老師這行很向往。
一方面是因為我自己遇到了好的數學老師，對我的影響很大；另一方面因為我的數學成績好，同學都愿意課間來問我題目，我也樂于分享自己的方法和技巧，可能從那時就種下了當老師的種子了吧。
Q、您剛剛說到以前上學的時候數學就很好，那你當時有什么學習的“竅門”嗎？
其實也談不上什么竅門，我覺得一是自己問自己“學的這個東西能怎么用”，自己想辦法去找更多應用的場景；二是我總是喜歡琢磨有沒有更簡單更巧妙的辦法，覺得不夠簡潔我會再找。其實在做這兩件事兒的過程中數學會給我帶來很大的樂趣。
Q、您是從體制內體系一路學上來的，現在教的都是國際學校的孩子，感覺體制外的孩子學數學有什么不同嗎？
其實學習的方法倒沒有很大區別，但是體制外的孩子自我意識比較強，他們經常會問我類似“老師，學三角函數只能用來做題嗎？”這樣的問題。
雙曲函數
所以我在課上一般會稍稍拓展一下，跟他們將一些補充知識，比如說雙曲函數看上去很抽象，我會向他們介紹說“達芬奇創作《抱銀鼠的女子》這幅畫的時候，為了能讓人物脖子上的項鏈曲線更真實，請教了當時的數學家，后來雅各布等數學家最終研究出了雙曲函數的
coshx，這個問題才得到解決。”。
達芬奇名作《抱銀鼠的女子》
故事不但能調節課堂氣氛，也能讓學生知道所學的內容原來是跟實際生活有關聯的，自然也會更主動去學。
“逆襲拿獎如喝水”
金牌教練說天賦沒那么重要
Q、我們經常說數學是很看天賦的學科，甚至很多家長覺得打競賽就是拼天賦，你帶過這么多學生，同意這個觀點嗎？
其實我覺得，大部分我們熟悉的競賽都還沒到談論天賦的地步，尤其是低齡階段的競賽。比如AMC8這樣的比賽，普通天賦拿1%沒大家想象的那么難，靠努力完全可以達成。
而且我覺得，競賽的作用不僅僅是拿個獎，它是很好的促進數學學習的手段。
我自己帶的第一個學生就是一個很好的例子！
當時這個孩子來的時候數學成績在班級靠后，但其實孩子學習的意愿還是很強的。我就帶著他一點一點地補漏洞，慢慢地他逐漸找到自己的學習方法和節奏了，說要參加澳洲AMC的競賽 ，而且通過短期學習就拿下了3等獎。并且他發現同班那些成績平時比他好很多的同學甚至都拿不到獎，信心馬上就上來了，接下去的課內學習也比以前更順了。
Q、這樣的案例是個案還是普適情況？
像這樣的例子，我覺得我手頭至少有近40%是這樣的，真的不是什么個案。
其實很多孩子都有很大的進步空間，只要他們意識到“其實我還不錯”，主動性一上來，成績上得就非常快，打競賽出成績也不是什么奢望了。
Q、那我挺好奇，你是用什么方法幫助這些普通學生拿到想要的競賽結果呢？
我覺得大家可以把打競賽理解為爬山，你想一想，如果你面前的山連路都沒有，可能很多人完全不知道從哪里去爬，這就是很多我看到的“后進生”的困境，目標就像高山一樣，可又看不到路徑，自然覺得沒希望了。
另一種情況，就算你有一條路，但是臺階很高，你每爬一步都要花費很大的力氣，那爬幾級臺階就會很累爬不動了，這種就是臺階設置得不合理。
所以我們翰林的老師上課一般都不會只找本宣科，比如我上課的時候會關注課上學生的反饋。如果我發現學生跟的很累，那我就會“降低臺階高度”，最佳狀態就是“小步長期”，孩子可能都感覺不到累，但其實一直在往上爬，最終登上山頂就不那么難了
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一年帶出30個AIME晉級
她說數學好的學生有這些特質
Q、2023年，你有30多個學生晉級了AIME，你覺得這些晉級AIME的學生都有什么特點呢？
首先我覺得數學競賽想要獲得好成績，必須具備三個條件！
第一：知識學到位
所謂“巧婦難為無米之炊”，再聰明再有天賦，基本概念都沒學好，就不用想競賽得獎這事兒了，老老實實補知識最重要。
第二：課后勤練習
我們知道越高水平得競賽題越少套路，因此觸類旁通的能力就很重要了。這種能力怎么來，其實天賦不是最重要的，練習才是。
因為練習的過程中你才能加深對問題的理解，才能豐富你自己的解題“武器庫”就越來越多了，什么情況用哪個武器就很清楚了。遇到新問題才能更快找到切入口。
第三：會時間管理
這是最容易被忽略的一個點，就拿AMC系列來說，AMC8是40分鐘、AMC10是75分鐘，其實時間都是非常緊張的。
很多孩子來的時候說自己AMC8套卷能做到23、24分，但其實要花2、3個小時，真壓縮在40分鐘發現只有15、16分了，這種情況實在太多。
除了這三個條件外，我發現這些能拿獎的學生無一例外都有一個特點——從小學就開始打競賽了。
Q、這其實就回到我們經常說的“競賽規劃”這個話題上了，你覺得低齡階段有必要打競賽嗎？
有人說低齡競賽如果不是小升初，其實也沒什么用？
我還是非常推薦低齡孩子多去參加一下競賽的，尤其是好好學一學競賽。
從我帶的這些出成績的學生來看，他們拿獎，天賦其實更多是起到輔助作用，主要靠得是積累。尤其是一些思維能力，都是需要長期養成的。
具體來說我覺得是這些能力：
1.抽象能力
2.邏輯推理能力
3.歸納總結能力
4.聯想遷移能力
5.發散和想象力
6.目標導向推理能力
比如說你要測一座山的高度，你要先把它抽象成一個三角形，然后應用三角形相關的特性去對問題進行分析和推理，最后得出你的結論，這就是基本的數學思維過程。
如果是打競賽，后面三種能力的要求就會很高，尤其是最后一個能力，我的很多學生遇到新題和難題會懵，這時候我就會問：
“這個題目問什么？”
“我現在需要什么？哪些是已經有的條件、哪些需要去找？”
“需要找的東西怎么得到？有哪些條件還能用？”
... ...
有了這樣的思維習慣，遇到難題至少就知道怎么下手了！這也是我帶學生時，學過競賽和沒學過競賽之間最大的差別。
Q、那這些思維能力里，你覺得哪些是天賦決定的，哪些是可以后天訓練的？
這些能力中，其實大部分都可以通過后天培養的，只不過就像剛才說的，要靠長期持續的練習去落實。
而且競賽對于后面三項能力的訓練效果也是非常明顯的，比如聯想遷移能力，我們會覺得這個能力和天賦關系比較大，確實天賦很重要，但這個能力后天也是可以提升的，只是花的時間更多一些。
我們知道競賽的題不像國際課程校內的題，往往非常靈活多變，可以說打競賽就是不斷地和新題型在接觸，這個過程中其實會“逼”著孩子不斷思考、對比、總結，久而久之聯想和遷移能力也就提高了。
而且這些能力不只是學數學、打競賽有用，對于未來的工作、尤其是做管理做決策的時候會非常有用，很多厲害的企業家小時候打競賽也都非常牛！
整個采訪中，“積累”兩個字也許是郭老師提及最多的。在跟她的溝通過程中，小林發現其實我們對于孩子數學學習規劃的焦慮，其實是源于邏輯反了！
我們往往會想當然覺得天賦決定結果，于是總是糾結于孩子到底有沒有天賦、值不值得投入時間和精力。然而，從郭老師的描述和她的“戰績”中我們會發現，其實競賽的結果其實是靠逐漸積累出來的，而不是天賦事先決定的。
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